\section{Tilbagekobling}
\label{moderneregulering-tilbagekobling}
Da systemet, som vist i afsnit \ref{moderneregulering-styrbarhed}, er styrbart, er det med design af tilstandstilbagekobling muligt at placere systemets lukketsløjfe poler fuldstændig som ønsket \citep{Feedback:book}. Samtidig designes der, for at eliminere steady state fejl, tilstandstilbagekobling med integral kontrol, hvilket giver anledning en udvidelse af tilstandsmodellen. Polplaceringen til tilbagekoblingen med integral kontrol kan opskrives som et problem på samme form som polplacering til tilbagekobling uden integral kontrol ved udnyttelse af denne udvidede tilstandsmodel.  Tilbagekoblingen designes som fuld tilstandstilbagekobling, hvilket dog realiseres ved design af en estimator efterfølgende, da vinkelhastigheden ikke måles med en sensor.
\begin{figure}[H] %Blokdiagram af Feedback med integral
\centering
\begin{tikzpicture}[auto, node distance=2cm,>=latex']
% We start by placing the blocks
\node [sum, node distance = 1 cm](referenceSum){};
\node [block, color=green!60!black, right of = referenceSum, node distance = 1 cm](feedbackInt){$\int$};
\coordinate [below = 1.2 cm, below of = referenceSum](belowReferenceSum);
\node [block, color=green!60!black, right of = feedbackInt, node distance = 1.5 cm](feedbackFi){$F_I$};
\node [sum, right of = feedbackFi, node distance = 1 cm](feedbackSum){};
\node [block, right = 0.5 cm, right of = feedbackSum, node distance = 1 cm](systemB){$B$};
\node [sum, right of = systemB, node distance = 1 cm](systemSum){};
\node [block, right of = systemSum, node distance = 1 cm](systemInt){$\int$};
\node [block, right of = systemInt, node distance = 1.5 cm](systemC){$C$};
%\node [block, below of = systemC, node distance = 1.2 cm](systemCi){$C_I$};
\node [block, below of = systemInt, node distance = 1.2 cm](systemA){$A$};
\coordinate [right = -1 cm, right of = systemC, label = above:$y$](systemY);
%\coordinate [right = -1 cm, right of = systemCi, label = above:$z$](systemZ);
\draw [->] (systemInt) -- node[name = systemX]{$x$} (systemC);
\coordinate [below = -0.6 cm, below of = systemX](belowSystemX);
\node [block, color=green!60!black, below = 1.5 cm, below of = systemSum, node distance = 1 cm](feedbackF){$F$};
% We then draw box
\coordinate [above = -1.2 cm, right = -1.2 cm, above of = systemC, right of = systemC](systemBoxRT);
\coordinate [above = -1.2 cm, left = -1.2 cm, above of = systemB, left of = systemB](systemBoxLT);
\coordinate [below = -0.15 cm, right = -1.2 cm, below of = systemC, right of = systemC](systemBoxRB);
\coordinate [below = -0.15 cm, left = -1.2 cm, below of = systemB, left of = systemB](systemBoxLB);
\draw [dashed, color=cyan] (systemBoxLT) -- (systemBoxRT) -- (systemBoxRB) -- (systemBoxLB) -- (systemBoxLT);
\coordinate [above = -1.8 cm, above of = systemBoxLB, label = right:$\tiny{{\color{cyan}\text{System}}}$];
% We then draw lines
\coordinate [left = -1.2 cm, left of = referenceSum, label = above:$-r$](referenceInput);
\draw [->, color=green!60!black] (referenceInput) -- (referenceSum);
\draw [->, color=green!60!black] (feedbackInt) --node[color = black]{$x_I$} (feedbackFi);
\draw [->, color=green!60!black] (feedbackFi) -- (feedbackSum);
\draw [->, color=green!60!black] (systemY) |- (belowReferenceSum) -- (referenceSum) -- (feedbackInt);
\coordinate [right = -1.5 cm, right of = feedbackSum, label = above:$u$](systemU);
\draw [-] (feedbackSum) -- (systemU);
\draw [->] (systemU) -- (systemB);
\draw [->] (systemB) -- (systemSum);
\draw [->] (systemSum) -- (systemInt);
\draw [->] (systemX) |- (belowSystemX) -- (systemA);
\draw [->] (systemA) -| (systemSum);
\draw [-] (systemC) -- (systemY);
\draw [->, color=green!60!black] (belowSystemX) |- (feedbackF);
\draw [->, color=green!60!black] (feedbackF) -| (feedbackSum);
\end{tikzpicture}
\caption{Udvidet systemdiagram med {\color{green!60!black}tilstandstilbagekobling} med {\color{green!60!black}integral kontrol}.}
\label{fig:moderneregulering-feedbackdiagram}
\end{figure}
Et diagram for det udvidede system med tilstandstilbagekoblingen er vist på figur \ref{fig:moderneregulering-feedbackdiagram}, hvorpå \textbf{y} ligges til referencen, \textbf{-r}, inden integral kontrollen. Desuden føres \textbf{x} tilbage til \textbf{u} gennem tilbagekoblingsmatricen, \textbf{F}. Dette giver anledning til et nyt udtryk for \textbf{u}, hvilket af figur \ref{fig:moderneregulering-feedbackdiagram} kan udledes til ligning \eqref{eq:feedback-udvidetu}. 
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:feedback-udvidetu}
\textbf{u} = \textbf{Fx} + \textbf{F}_\textbf{I}\textbf{x}_\textbf{I}
\end{IEEEeqnarray}
\begin{tabbing}
Hvor: \= $\textbf{x}_\textbf{I} = \int_{0}^{t} \textbf{y} - \textbf{r}$
\end{tabbing}
En udvidet tilstandsmodel kan dermed opstilles med system- og outputligninger som henholdsvis i formel \eqref{eq:feedback-udvidetsystemligning} og \eqref{eq:feedback-udvidetoutputligning}.
\begin{IEEEeqnarray}{l}
\label{eq:feedback-udvidetsystemligning}
\dot{\textbf{x}}_\textbf{e} = \textbf{A}_\textbf{e}\textbf{x}_\textbf{e} + \textbf{B}_\textbf{e}\textbf{u}\\
\label{eq:feedback-udvidetoutputligning}
\textbf{y} = \textbf{C}_\textbf{e}\textbf{x}_\textbf{e}
\end{IEEEeqnarray}
\begin{tabbing}
Hvor: $\textbf{A}_\textbf{e} = \begin{bmatrix}\textbf{A} & \textbf{0} \\ \textbf{C} & \textbf{0} \end{bmatrix}$, $\textbf{B}_\textbf{e} = \begin{bmatrix} \textbf{B} \\ \textbf{0} \end{bmatrix}$,
$\textbf{C}_\textbf{e} = \begin{bmatrix} \textbf{C} & \textbf{0} \end{bmatrix}$,
$\textbf{x}_\textbf{e} = \begin{bmatrix} \textbf{x} \\ \textbf{x}_\textbf{I} \end{bmatrix}$
\end{tabbing}
Dermed kan tilstandstilbagekoblingen designes for inputtet givet ved ligning \eqref{eq:feedback-forkortetu}.
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:feedback-forkortetu}
\textbf{u} = \textbf{F}_\textbf{e}\textbf{x}_\textbf{e}
\end{IEEEeqnarray}
\begin{tabbing}
Hvor: \= $\textbf{F}_\textbf{e} = \begin{bmatrix} \textbf{F} & \textbf{F}_\textbf{I} \end{bmatrix}$ \\
\end{tabbing}
$\textbf{F}_\textbf{e}$ designes så egenværdierne af $\textbf{A}_\textbf{e}+\textbf{B}_\textbf{e}\textbf{F}_\textbf{e}$, hvilket er systemets lukketsløjfe poler, bliver som ønsket. Polerne kan dermed placeres vilkårligt ved forskellige metoder, hvoraf to metoder forsøges anvendt.
\subsection{Reelle poler}
\label{moderneregulering-reelepoler}
Designes en tilbagekobling således, at lukketsløjfe polerne er reelle, opleves intet oversving. Ved en hastighedsregulator giver dette en pænere oplevelse i forbindelse med et step til nul, da lastens hastighed dermed ikke skifter fortegn. Med reelle poler er kravet om maksimalt 5 \% oversving, dermed ikke med som en begrænsning når der designes.\\
Der designes derfor, hvor de $n + 2$ poler placeres på den negative realakse til venstre for systemets poler. Lukketsløjfepolerne er egenværdierne af $\textbf{A}_\textbf{e}+\textbf{B}_\textbf{e}\textbf{F}_\textbf{e}$, som placeres med MATLAB-funktionen; $\textbf{F}_\textbf{e} = -\text{place}\left(\textbf{A}_\textbf{e},\textbf{B}_\textbf{e},\textbf{p}\right)$, hvor \textbf{p} er en vektor med de ønskede poler. Der benyttes $-\text{place}()$, da MATLAB antager negativ tilbagekobling, hvilket ikke benyttes. Vektoren \textbf{p} vælges således den ønskede systemrespons opnåes.\\
For at give en forståelse for hvorledes dette egenværdiproblem kan løses, vises her en algoritme for dette for et system med enkelt input:
\begin{enumerate}
\item Polplaceringen for lukketsløjfesystemet bestemmes og ud fra disse den karakteristiske formel:
\begin{IEEEeqnarray}{c}
\nonumber
\text{det}[\lambda \mathbf{I} - (\mathbf{A+BF})] = \lambda ^n + a_{cl,1}\lambda ^{n-1}+\ldots+a_{cl,n} 
\end{IEEEeqnarray}
\begin{tabbing}
Hvor: \= $n$ er ordenen af systemet\\
\> $a_{cl,n}$ er forstærkninger således at polerne ligger som ønsket
\end{tabbing}
\item Ved at lave et baseskift så systemet føres på kontrollerbar kanonisk form gøres udregninger, specielt ved højere ordens systemer, simplere. Det gøres ved at bestemme et \textbf{T} således at:
\begin{IEEEeqnarray}{c}
\nonumber
\mathbf{A_c = T^{-1}AT} \wedge \mathbf{B_c = T^{-1}BT}
\end{IEEEeqnarray}
\item Strukturen af $\mathbf{A_c}$ er på $"$upper companion form$"$ hvor forstærkningerne for det karakteristiske polynomie for åbensløjfe $(a_n)$ kan findes i øverste række.
\item Ud fra forstærkningerne for det karakteristiske polynomie for åbensløjfe og viden om hvilken forstærkning der ønskes i lukkesløjfepolynomiet for at polerne ligger som ønsket, kan der bestemmes en feedback forstærkning som: 
\begin{IEEEeqnarray}{c}
\nonumber
\mathbf{F_c} = \begin{bmatrix}
a_1 - a_{cl,1} & \ldots & a_n - a_{cl,n}
\end{bmatrix}
\end{IEEEeqnarray}
\item Da forstærkningen $\mathbf{F_c}$ stadig er på kontrolform transformeres der tilbage: 
\begin{IEEEeqnarray}{c}
\nonumber
\mathbf{F = F_cT^{-1}}
\end{IEEEeqnarray}
\end{enumerate}
Denne metode, dog i en mere komprimeret form, kaldes Ackermann's formel. Metoderne her er dog for systemer med enkelt input. MATLAB-funktionen $\text{place}()$ der anvendes til at løse egenværdiproblemerne i dette projekt fungerer dog for multi-input systemer. 
\subsection{LQR}
\label{moderneregulering-lqr}
Linear quadratic regulator, forkortet LQR, hører under gruppen af metoder kaldet optimal kontrol og er en metode, som placerer systemets poler ved minimering af kostfunktionen givet ved formel \eqref{eq:feedback-lqr}\citep{Feedback:book}. En detalje ved LQR-metoden er, at den ikke forsøger at undgå oversving, hvilket for denne hastighedsregulator skal begrænses til 5 \%. Dette holdes derfor for øje under anvendelsen af metoden.
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:feedback-lqr}
\mathcal{J} = \int_0^\infty \textbf{x}^T\textbf{Qx}+\textbf{u}^T\textbf{Ru}\,\text{d}t
\end{IEEEeqnarray}
\begin{tabbing}
Hvor: \= \textbf{Q} er en symmetrisk positiv semi-definit matrix \\
\>\textbf{R} er en symmetrisk positiv definit matrix
\end{tabbing}
Diagonalelementerne i \textbf{Q} og \textbf{R} er vægtningsværdier, der afgører systemets opførsel i lukketsløjfe. Store værdier i \textbf{Q} betyder, at \textbf{x} skal holdes lille for at holde $\mathcal{J}$ lav, hvorimod store værdier i \textbf{R} betyder, at \textbf{u} skal holdes lille for holde $\mathcal{J}$ lav. Dette betyder, at store værdier i \textbf{Q} generelt giver et hurtigere systemrespons, hvilket vil sige mindre fejl, hvorimod styresignalet med store værdier i \textbf{R} holdes lavere, hvilket giver et langsommere systemrespons.\\
\textbf{Q} og \textbf{R} kan designes efter flere metoder, hvor den anvendte hedder Brysons regel. Ifølge Brysons regel designes diagonalelementerne i \textbf{Q} og \textbf{R} efter formel \eqref{eq:feedback-brysonQ} og \eqref{eq:feedback-brysonR}\citep{Feedback:book}.
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:feedback-brysonQ}
\textbf{Q}_{jj} = \frac{1}{\text{maksimal acceptabel værdi for } [\textbf{x}_j]^2}\\\nonumber\\
\label{eq:feedback-brysonR}
\textbf{R}_{jj} = \frac{1}{\text{maksimal acceptabel værdi for } [\textbf{u}_j]^2}
\end{IEEEeqnarray}
Maksimal værdierne til inputspændingerne, som benyttes i \textbf{R}, er bestemt og beskrevet i afsnit \ref{indledendeanalyseafkransystem-doedzone}. Tilstandene, der skal angives maksimalværdier for i \textbf{Q}, er den udvidet tilstandsvektor, $\textbf{x}_\textbf{e} = \begin{bmatrix}\textbf{x} & \textbf{x}_\textbf{I}\end{bmatrix}^T$, hvori der til $\textbf{x}$ benyttes de, i afsnit \ref{indledendeanalyseafkransystem-maetning}, fundne maksimalværdier for hastighederne på henholdsvis $1,02~\has$ og $0,23~\has$. For $\theta_\text{last}$ er maksimalværdien taget fra kravspecifikationen til $0,079~\rhas$, hvorimod maksimalværdien for $\dot{\theta}_\text{last}$ er valgt til $1~\racc$. Værdierne for de to tilstande $\textbf{x}_\textbf{I}$ er dermed de to tilbageværende frihedsgrader, når denne metode anvendes til et design, der overholder kravene.